Кинематика - это геометрия четырёхмерного пространства,
где четвертым измерением является время.
(Н.Е. Жуковский)
Продолжение раздела "Поворотное ускорение"
Теорема Жуковского.
Абсолютное ускорение j точки является векторной суммой полного ускорения переносного движения l, полного ускорения относительного движения g и двойного произведения скорости относительного движения u на равномерную скорость вращения ω ротативной системы отсчета вокруг оси ω-ω'.
Доказательство.
Допустим, что материальная точка 1 в начальный момент t занимает положение А в трехмерном евклидовом пространстве и через определенный промежуток времени τ (далее - период) перемещается в положение F, двигаясь криволинейной траекторией AF (см. рисунок).
Такое криволинейное движение точки 1 из положения A в положение F на рисунке является пространственным и его можно оценить номинальной оценкой "составное" (в теоретической механике - сложное). Допустим, кроме того, что составное движение точки 1 является следствием относительного движения точки 1 в локальной системе отсчета X'Y'Z' вдоль траектории AB в пределах вертикальной плоскости V с одновременным плоским движением локальной системы отсчета X'Y'Z' криволинейной траекторией AD в пределах горизонтальной плоскости абсолютной системы отсчета XYZ, раскрашенной голубым цветом. При этом в момент t начало отсчета 0 локальной системы X'Y'Z' совпадает с положением A, а траектория AB относительного движения точки всецело расположена в вертикальной плоскости Y'Z', которая обозначена на рисунке буквой V и закрашена зеленым цветом. Предварительно договоримся, что криволинейные траектории AB, AD являются параболами.
Полное постоянное ускорение относительного движения точки 1 в локальной системе отсчета X'Y'Z' будем обозначать как g, а скорость относительного движения точки обозначим через u. Полное постоянное ускорение переносного движения системы отсчета X'Y'Z' обозначим через l. При этом скорость переносного движения системы отсчета X'Y'Z' обозначим через w. Наконец, полное ускорение абсолютного движения обозначим через j, а скорость абсолютного движения точки обозначим через v. Эти и другие обозначения показаны на рисунке вверху в виде векторов.
Если бы переносное движение системы отсчета X'Y'Z' относительно абсолютной системы XYZ отсутствовало, то за соответствующий период τ точка, исходя из начала отсчета O (A) оказалась бы в положении C, двигаясь траекторией AB.
С другой стороны, в результате наличия только плоско-параллельного движения системы отсчета X'Y'Z' относительно абсолютной системы XYZ за этот же период τ траектория AB оказалась бы в положение DL вместе с системой отсчета X'Y'Z' (координатные оси системы отсчета при плоско-параллельном её переносе обозначены на рисунке как X"Y"Z"). При этом начало A траектории относительного движения AC двигалось бы криволинейной траекторией AD в пределах горизонтального криволинейного и серого треугольника ASD, совпадающего с горизонтальной плоскостью X'Y' локальной системы отсчета X'Y'Z'. При этом в результате одновременного относительного движения точки 1 и переносного движения локальной системы отсчета X'Y'Z' вместе с траекторией AD точка 1 за тот же период τ будет находиться только в положении C', причем (AB = (DL, где ( - дуга.
Для того, чтобы точка 1 из положения A плавно переместилась в положение F необходимо наличие еще какого-то дополнительного "маневра" локальной системы отсчета.
Это возможно, если локальная система отсчета X'Y'Z' является ротативной, т.е. вращающейся в пространстве абсолютной системы XYZ вместе с траекторией AB точки вокруг оси вращения 2, обозначенной на рисунке как ω-ω'.
Построим смещения (девиациии) всех возможных движений точки 1 в пространстве на рисунке. Величина девиации AH относительного движения точки 1 определяется через её скорость u как AH = uτ, а направление относительного движения является касательным к траектории АВ в положении A. Величина девиации AS переносного движения локальной системы отсчета X'Y'Z' определяется через переносную скорость w как AS = wτ, а направление переносного движения системы является касательным к траектории AD в положении A.
Построим на прямых AH и AS четырехугольник AHPS. Тогда длина диагонали AP соответствует длине вектора абсолютной скорости v движения точки на том основании, что длина прямой AH пропорциональна относительной скорости u, а длина AP пропорциональна переносной скорости w, поэтому AP = vτ.
Таким образом, будем иметь:
AВ - положение траектории в момент t;
DF - положение траектории в момент t + τ;
AC - относительный путь точки 1 за период τ;
AD - переносной путь системы отсчета X'Y'Z' за период τ;
AF - абсолютный путь движения точки 1 за период τ.
Известно, что причиной движения точки параболической траекторией (в нашем случае кривой AB или AD) является наличие двух ортогональных девиаций, а именно - равномерного движения со скоростью u и равноускоренного, величина ускорения которого составляет g. При этом величина равноускоренной девиации параболы зависит квадратично от продолжительности τ, а поэтому на рисунке вверху имеем:
HC - относительная девиация ускоренной точки, равная gτ2/2;
SD - переносная девиация ускоренной точки, равная lτ2/2;
PF - абсолютная девиация ускоренной точки, равная jτ2/2.
Будем считать, что плоская закрашенная серым цветом фигура AHC за период τ занимает положение фигуры DNF. При этом прямая DN не является параллельной AH.
Проведем с точки D прямую DQ, параллельную AH. Тогда фигура DQC образуется плоско-параллельным переносом фигуры AHC вместе с локальной системой отсчета X'Y'Z'. При этом прямая DQ является касательной к траектории DC в точке D, а прямая DN является касательной к траектории DF в той же точке D.
Соединим между собой точки P с Q, Q с N и N с F и получим четырёхугольник PQNF, для которого по правилу сложения векторов можно записать:
PF = PQ + QN + NF.
В этой векторной сумме нам известны векторы PF, PQ и NF, причем:
PF = jτ2/2 - абсолютная девиация ускоренной точки.
PQ = SD = lτ2/2 - переносная девиация ускоренной точки.
NF = QC = HC = gτ2/2 - относительная девиация ускоренной точки.
В результате будем иметь:
jτ2/2 = lτ2/2 + gτ2/2 + QN.
Рассмотрим теперь длину отрезка QN. Мы можем вектор AH переместить в положение вектора DN за счет его параллельного переноса в положение DQ, повернув его одновременно вокруг оси ω-ω' на некоторый угол.Тогда QN можно рассматривать как небольшую дугу, которую описала точка Q за период τ радиусом OQ с центром O вокруг оси ω-ω', причем треугольник OQN находится в плоскости, перпендикулярной оси ω-ω'. Если угол OQN обозначить, как dφ, то получим:
dφ/τ = ω;
где ω - угловая равномерная скорость поворота траектории вокруг оси ω-ω' совместно с локальной системой отсчета X'Y'Z'.
Поэтому угол OQN = dφ = ωτ и QN = OQωτ, а вектор угловой скорости направлен вдоль оси ω-ω'.
Что касается отрезка OQ, то его величину можно определить из прямоугольного треугольника QOD, в котором угол является прямым при точке O.
Вследствие этого имеем: OQ = DQsin Θ, где Θ - угол между OD и DQ.
В свою очередь, DQ = AH = uτ. Откуда QN = uτ2ω sinΘ.
Подставив значение QN в векторную сумму PQ + QN + NF, получим:
jτ2/2 = lτ2/2 + gτ2/2 + uτ2ω sinΘ
где Θ - угол между векторами относительной скорости u и угловой скорости ω.
Разделим последнее равенство на τ2/2. Тогда последнее равенство можно переписать следующим образом:
j = l + g + 2uω sinΘ = l + g + uω sinΘ + uω sinΘ
"Перевод" последнего равенства на русский язык звучит следующим образом:
"Абсолютное ускорение j точки является векторной суммой полного ускорения переносного движения l, полного ускорения относительного движения g и двойного произведения скорости относительного движения u на равномерную скорость ротации ω системы отсчета вокруг оси ω-ω'".
Такой "перевод" дает не кто иной, как известный русский ученый и исследователь вращательного движения - Н.Е. Жуковский, а все приведенные выше рассуждения являются доказательством "теоремы Жуковского-Кориолиса" из его книги "Кинематика Статика Динамика точки"[1], незаслуженно забытой его учениками. В современных учебниках теоретической механики оценка "полное" (ускорение) куда-то пропало.
Что имел в виду Жуковский, когда использовал оценку полное вместе с терминами относительное и переносное ускорение?
Для ответа на этот вопрос процитируем в оригинале вступительное слово параграфа 6 "Сложение ускоренной" на странице 63 его лекций [1]:
"При доказательстве теорем о сложении скоростей мы не стеснялись тем, как движется траектория. Но когда речь идет об определении полного ускорения сложного движения, то для нас весьма важен характер ее перемещения. Если траектория движется поступательно, то оказывается, что имеет место правило параллелограмма; если же она при этом еще и поворачивается, то полное ускорение сложного движения выражается суммой не двух, а трех векторов. Если же, в общем случае, траектория во время своего движения еще и деформируется, то нахождение полного ускорения сложного движения представляется делом большой трудности." (конец цитаты)
1. Н.Е. Жуковский. Кинематика Статика Динамика точки. М. ОборонГиз. 1939.
| 
